Question

若实数x,y满足x^2+y^2+8x-6y+16=0求x+y的最小值

Answer 1

x²+y²+8x-6y+16=0即(x+4)²+(y-3)²=9

根据均值不等式：(a²+b²)/2≥[(a+b)/2]²
于是[(x+4)²+(y-3)²]/2≥[(x+4+y-3)/2]²=(x+y+1)²/4
即9/2≥(x+y+1)²/4
(x+y+1)²≤18
-3√2≤x+y+1≤3√2
-3√2-1≤x+y≤3√2-1

Answer 2

(x+4)^2+(y-3)^2=9
所以表示以（-4，3）为圆心，3为半径的圆
作三角变换得x=-4+3cosa，y=3+3sina
所以x+y=-1+3(sina+cosa)=-1+3根号2 sin(a+b)
所以最小值为-1-3根号2

追问

不用三角函数能做吗

追答

这个方法绝对会受老师推崇