Question

求圆盘x^2+y^2≤a^2 绕 x=-b(b>a>0) 旋转所成旋转体的体积?

该题是高数同济六版P286第16题，我想问的是“圆盘x^2+y^2≤a^2”到底是个什么图形？我看答案好像是以圆”x^2+y^2=a^2“来计算的，但是我就有点不懂了，给的题是≤a^2而不是=a^2，那么最终算出来的体积应该是≤2π^2a^2b而不是=2π^2a^2b？
刚没反应过来，现我明白了，x^2+y^2≤a^2表示的是圆x^2+y^2=a^2内所有的点，也就是一实心圆，编者想表达的是圆x^2+y^2=a^2所围成的面积在旋转，而不是无意义的仅仅是圆圈在旋转。

Answer 1

由已知得：y=1-x^2与y=ax^2的交点d的横坐标为：x1=1/根号(a+1)，x2=-1/根号(a+1)由曲线y=1-x^2,y=ax^2(a>0)所围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为：V1=2π∫(上限为x1，下限为0)x[(1-x^2)-ax^2)]dx-2π∫(上限为0，下限为x2)x[(1-x^2)-ax^2)]dx=4π[x^2/2-(a+1)x^4/4](上限为x1，下限为0)=π/(a+1)由曲线y=1-x^2和x轴所围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为：V2=2π∫(上限为1，下限为0)x(1-x^2)dx-2π∫(上限为0，下限为-1)x(1-x^2)dx=4π(x^2/2-x^4/4)(上限为1，下限为0)=π又由已知知：2V1=V2，所以2π/(a+1)=π解得a=1注：设f(x)≥0是连续函数，由0≤a≤x≤b，0≤y≤f(x)所表示的区域绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积公式为：V=2π∫(上限为b，下限为a)xf(x)dx,。（这个公式你可以记下来）

追问

算我会算，我想问的是平面图形”圆盘x^2+y^2≤a^2“是个什么图形呀？

Answer 2

是一个轮胎