Question

证明若f(x)在点x0处连续且f(x0)不等于0,则存在x0的某一邻域U(X0),当x属于这一邻域时,f(x)不等于0

Answer 1

因为 f(x)在点x0处连续且f(x0)不等于0，所以对于任意大小的d>0，存在x属于邻域U(X0)，使得|f(x)-f(x0)|<d，即f(x0)-d<f(x)<f(x0)+d
不妨设f(x0)=a>0。
即当d=a时，存在邻域U(X0)，当x属于邻域U(X0)时，使得a-d<f(x)<a+d，即f(x)>0。
当f(x0)=a<0，同理可证（此时d=-a）

Answer 2

函数极限的局部保号性
设f(x0)=A>0，所以，取ε=A/2>0，则存在δ>0，
当x在x0的δ邻域U(δ)内时,有
|f(x)-A|<ε=A/2推出
f(x)>A-A/2=A/2>0
f(x0)=A<0类似证明，这是一种极限