Question

已知函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈r)是偶函数且f(0)=0

（1)求函数f（x）的解析式
（2）是否存在实数λ≥1/4，使函数g（x）=1-λf（x）+（2λ-1）x在区间[-1,2]上的值域为[-4,17/8]？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。
详细过程，越快越好，谢谢

Answer 1

f(x)=x^2+bx+c是偶函数,则有f(-x)=x^2-bx+c=f(x)

即有b=0
又f(0)=c=0
故f(x)=x^2.
(2)∵f(x)=x^2, 函数g(x)=1-pf(x)+(2p-1)x在区间[-1,2]上的值域为[-4,17/8]
∴g(x)=-px^2+(2p-1)x+1==>g'(x)=-2px+(2p-1)=0==>x=1-1/(2p)
∵p>=1/4>0
∴g(x)在x=1-1/(2p)处取极大值g(1-1/(2p))=(4p^2+1)/(4p)=17/8
8p^2-17p+2=0==>p1=1/8, p2=2
∴存在这样的 p=2
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(2)问,参考解答:
g(x)=1-px^2+(2p-1)x p>0
故g(x)的图像是开口向下的抛物线，对称轴为x=(2p-1)/2p=1-1/2p 最大值是g(1-1/2p)=p+1/4p
g(-1)=1-p-(2p-1)=2-3p
g(2)=1-4p+2(2p-1)=2∈[-4,17/8] （所以x=2不是区间[-1,2]上的极值点）
所以若符合题意的p存在，则必有
gmin=g(-1)=2-3p=-4
gmax=g(1-1/2p)=p+1/4p=17/8
1-1/2p∈[-1,2]
解得p=2
检验可见符合题意

追问

g(x)=-px^2+(2p-1)x+1==>g'(x)=-2px+(2p-1)=0==>x=1-1/(2p)这一步是为什么啊

追答

这是求导,计算出他的极值点.

Answer 2

解：（1）由题意得：
∵f(x)=x^2+bx+c(b,c∈r)是偶函数
∴f(x)=f(-x)
即x^2+bx+c=x^2-bx+c
得b=0
又∵f(0)=0
∴f(0)=0^2+c=0
∴c=0
∴f(x)=x^2
（2）由题意得：g（x）=-λx^2+（2λ-1）x+1
对称轴为x=（2λ-1）/（2λ）
(i)对称轴x≤-1时，λ≥1/4，g（-1）=17/8，g（2）=-4
此时λ不存在，舍去
(ii)对称轴x≥2时，λ≥1/4，g（-1）=-4，g（2）=17/8
此时λ不存在，舍去
(iii)对称轴x在区间[-1,2]上，λ≥1/4，此时g(-1)=4
解得：λ=-2，符合题意
综上所述，λ=-2

追问

想知道第三步λ=-2是怎么求出来的还有为什么此时λ存在。谢谢

追答

当对称轴x在区间[-1,2]上时，∵λ≥1/4，∴g（x）一定为开口向下的二次函数，
在对称轴时取到最大值，在g（-1）时取到最小值为-4，这时只要把-1代 入求得λ值即可
（抱歉，我上面有一步打错了，
应该为g(-1)=-4）