Question

求解dy/dt=(1/y)-y，y(0)=3

求完整过程

Answer 1

解微分方程y''y³-1=0的通解
设y′=p.则y′′=dy′/dx=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=p(dp/dy),代入原式得：
p(dp/dy)y³=1,分离变量得：pdp=dy/y³；积分之得p²/2=-1/(2y²)+(C₁)/2；即有p²=-(1/y²)+C₁；
故得p=y′=dy/dx=√[C₁-(1/y²)]；于是得dy/√[C₁-(1/y²)]=dx；即有ydy/√(C₁y²-1)=dx；
积分之：(1/2C₁)∫d(C₁y²-1)/√(C₁y²-1)=∫dx；
故得(1/C₁)√(C₁y²-1)=x+C₂；即C₁y²-1=(C₁x+C₁C₂)²；
故 y²=(1/C₁)[(C₁x+C₁C₂)²+1]为其通解.