Question

已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d(b,c,d为常数)的导函数f'(x)=3x^2+4x且f(1)=7,设F(x)=f(x)-ax

（1）a <2 时，求F(x) 极小值
(2) 任意x∈[0 , 正无穷） ，有F（x) ≥ 0 ，求a的范围

Answer 1

已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d(b,c,d为常数)的导函数f'(x)=3x^2+4x且f(1)=7,设F(x)=f(x)-ax
(1)a <2 时，求F(x) 极小值
(2) 任意x∈[0 , 正无穷） ，有F（x) ≥ 0 ，求a的范围
(1)解析：∵函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d==>f'(x)=3x^2+2bx+c=3x^2+4x
∴b=2,c=0==>f(x)=x^3+2x^2+d
∵f(1)=1+2+d=7==>d=4==>f(x)=x^3+2x^2+4
设F(x)=f(x)-ax=x^3+2x^2-ax+4
令F'(x)=3x^2+4x-a=0
⊿=16+12a<0==>a<=-4/3,F'(x)>=0，F(x)单调增；
当a>-4/3时
x1=(-2-√(4+3a))/3，x2=(-2+√(4+3a))/3
F''(x)=6x+4==>F''(x1)=-2√(4+3a)<0，∴F(x)在x1处取极大值；F''(x2)=2√(4+3a)>0，∴F(x)在x2处取极小值；
∵a<2
当a<=-4/3时，F'(x)>=0，F(x)单调增，F(x)无极小值；
当-4/3<a <2时，∴F(x)在x2处取极小值F(x2)；

(2)解析：∵任意x∈[0 , 正无穷） ，有F（x) ≥ 0
由（1）可知，令x2=(-2+√(4+3a))/3<=0==>a<=0