Question

如图，在Rt三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD垂直BC于点D,过A,D的圆交AB于E，交于AC于F

(1)求证：三角形ADF≌三角形BDE (2)如果BC=4，AE=√2+1，求AF和DE的长

Answer 1

 

(1)

∠BAD=∠CAD=45°

ED弧=FD弧

ED=FD

∠BAC=90°

EF是直径

∠EDF=90°

∠ADB=90°

∠BDE=∠ADF

∠B=∠DAF=45°

△ADF≌△BDE

(2)

AB=2√2

BE=AB-AE=√2-1

AF=BE=√2-1

DE²=BE²+BD²-2BE*BDcos∠B

=(2-1)²+2²-2*(√2-1)*2*√2/2

=3

DE=√3

追问

DE²=BE²+BD²-2BE*BDcos∠B
这是什么意思 请详述 谢谢

追答

三角形余弦定理

追问

没教过，看不懂，能用再简单点的方法吗 拜托

追答

可以 请稍等
(2)
AB=2√2
BE=AB-AE=√2-1
AF=BE=√2-1
作EG垂直BC于G
BG=EG=BE√2/2=(√2-1) √2/2=1-√2/2
DG=BD-BG=2-(1-√2/2)=1+√2/2
ED²=DG²+EG²=(1-√2/2)²+(1+√2/2)²
=1-√2+1/2+1+√2+1/2
=3
ED=√3

Answer 2

(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，AD⊥BD
　∴AD=BD，∠BAC=90°，∠DAF=∠DBE=45°
　∵A,E,D,F共圆
　∴∠EDF=180°-∠EAF=90°
　∵∠BDE=∠ADB-∠ADE=90°-∠ADE=∠EDF-∠ADE=∠ADF
　∴在△ADF与△BDE中，
　　∠ADF=∠BDE
　　∠DAF=∠DBE
　　AD=BD
　∴△ADF≌△BDE(AAS)

(2)解：连接EF
　∵BC=4
　∴AB=AC=2√2，AD=2
　∵AE=√2+1
　∴AF=BE=AB-AE=2√2-(√2+1)=√2-1　
　∴EF²=AE²+AF²=(√2+1)²+(√2-1)²=6
　∵△ADF≌△BDE
　∴DE=DF
　∵∠EDF=180°-∠EAF=90°
　令DE=x=DF　
　∴x²+x²=6
　　x=√3
　∴DE=√3

追问

抱歉，这图不太准确，∠ADE并不是直角，∠FDE才是直角

追答

解：连接EF
　∵BC=4
　∴AB=AC=2√2，AD=2
　∵AE=√2+1
　∴AF=BE=AB-AE=2√2-(√2+1)=√2-1
　∵∠BAC=90°
　∴EF²=AE²+AF²=(√2+1)²+(√2-1)²=6
　∵△ADF≌△BDE
　∴DE=DF
　∵∠EDF=180°-∠EAF=90°
　令DE=x=DF　
　∴x²+x²=6
　　x=√3
　∴DE=√3

追问

写得很详细 我懂了 谢谢

追答

不客气~加油~(*^__^*) …

Answer 3

1)∵∠BAC=90°，AB=AC,AD⊥BC
∴∠BED=∠DAF=45°,BD=DC
∵∠DFC=∠AED
∵∠DFC+∠DFA=180
∠AED+∠BED=180
∴∠DFA=∠BED
∵BD=DC=AD
∴三角形ADF≌三角形BDE
2)

追问

• 第一小题我解决了，主要还是第二小题，尽可能详细点比较容易懂些，我不较笨

追答

吃完饭在给你答

Answer 4

AD＝AE、AF，∠DAF＝∠DAE，AD＝AD；AF＝AE，所以AF＝根号2＋1，还有一个不知道，给个图确定一下。

Answer 5

图？

追问

追答

①AD=BD
②∠FAD=∠EBD=45°
∵AD共园轴 则∠AED与∠AFD互补
又∠BAC=90° 所以∠EDF=90°
又∠ADB=90° ∴③∠EDB=∠ADF
角边角定理△BED≌△AFD
∴AF=BE
BE=AB-AE BC=4 ∴AB=2√2 AE=√2-1 得AF=BE=√2+1
已知AD=2 AF=√2+1 ∠DAF=45° 可求DF 然後。。。懒得计算了
就是DF=DE
DF²+AD²-2Cos45°DF*AD=AF²
大概是这样的 吐槽一下 这图太误导人了= =
然後一楼的(2)错了 △ADE不是直角三角形