Question

求xy'-y-√(x^2+y^2)=0的通解

网上查到的过程是
∵xy'-y-√(y²-x²)=0 ==>y'-y/x-√(y²/x²-1)=0
∴设y=xt,则y'=xt'+t
代入方程得xt'-√(t²-1)=0 ==>dt/√(t²-1)=dx/x
==>ln(t+√(t²-1))=ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)
==>t+√(t²-1)=Cx
==>y/x+√(y²/x²-1)=Cx
==>y+√(y²-x²)=Cx²
故原方程的通解是y+√(y²-x²)=Cx² (C是积分常数).
我想问第一步变化中同除以x，为什么不考虑x的正负性问题？

Answer 1

没有影响，最后的Cx，这个任意常数C也是可正可负的，别想当然以为C是正数哦

追问

但是如果x是负数的话，计算过程就会变为
∵xy'-y-√(y²-x²)=0 ==>y'-y/x+√(y²/x²-1)=0
∴设y=xt,则y'=xt'+t
代入方程得xt'+√(t²-1)=0 ==>dt/√(t²-1)=-dx/x
==>ln(t+√(t²-1))=-ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)
==>y/x+√(y²/x²-1)=C（1/x）
==>y-√(y²-x²)=C
与原来不同啊？

Answer 2

要考虑正负的，我看到一道类似的题，两本辅导书上的答案不一样，一个考虑了一个没考虑，考虑的那个应该是正确的。另外题主你的题和答案不太一样呢

Answer 3

我想问你在哪查的(ﾟﾛﾟ)啥软件啊？

Answer 4

你是对的，要考虑正负的

Answer 5

要考虑正负，而且你也算对了。高等数学同济大学第七版7-3第一题就是这个题目，两个答案