Question

微分方程 xy‘＋2y－y^2＝0的通解是多少吖，是不是伯努利方程吖？求 x^2y‘＋xy－y^2＝0的通解为什么要

用到前面的通解吖？

Answer 1

xy'=y^2-2y,dy/(y^2-2y)=dx/x
(1/2)[1/(y-2)-1/y]dy=dx/x
ln(y-2)-lny=lnx^2+lnC
y=2+Cyx^2为通解

追问

请问 你为什么没有加绝对值？lnC可以这样写嘛？（积分出来的？）

追答

在解微分方程时，初学时可以加绝对值
ln|y-2|-ln|y|=lnx^2+C1
ln|y-2|=ln|y|+lnx^2+C1
|y-2|=(e^(C1))|yx^2|
y=2±e^(C1)yx^2
y=2+Cyx^2
当你熟悉后，凡是积分结果有对数时，常数都可以写成lnC,最后把对数去掉

追问

不好意思 再请教下 为啥你都没用伯努利方程一步一步解，那个积分的跨度好大！ 真厉害！谢谢你

追答

这不是伯努利方程，是变量分离方程

追问

我做这题就直接换成Y'加上 (2/x)Y=(1/x)Y^2这还不是吗？

追答

你那是变形后得到的。严格讲应该称为可化为伯努利方程的微分方程。
解方程时，能直接用变量分离，就用变量分离，这在学习方程的时候是最先学的，应该最简单。

追问

受教了谢谢您

Answer 2

第一个是伯努利