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高中数学复合函数求值域

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高中数学复合函数求值域

求函数值域的7类题型和16种方法 

一、函数值域基本知识 

1．定义：在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的因变量y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。 

2．确定函数的值域的原则 

①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合； 

②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合； ③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 

二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： 

）

例2．求函数的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：原函数变形为

作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,

KC=。

由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。

∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。

例3．求函数的值域。

解析：令，，则，，，原问题转化为：当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。

由图1知：当经过点时，；

当直线与圆相切时，。

所以，值域为

例4. 求函数的值域。

解：将函数变形为

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即

由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有

即

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有

综上所述，可知函数的值域为

注：求两距离之和时，通常需要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。

（12）复合函数法：

对函数，先求的值域充当的定义域，从而求出的值域的方法。

例1、求函数 的值域

（复合函数法）设  ，

则

例2：求函数的值域。             

（13）非负数法

根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。

例1、(1)求函数的值域。 (2)求函数的值域。

解析：(1)，

故所求函数的值域为 。

(2)，原函数可化为 ，即 ，  当时，， ，，解得

又 ，所以 ，

故所求函数的值域为 。

（不等式性质法）

例2：求下列函数的值域：

（1）y=；      （2）y=；  （3）y=

（4）y=10-；  （2）y=；  （3）y=

（14）导数法

若函数在内可导,可以利用导数求得在内的极值,然后再计算在,点的极限值.从而求得的值域.

例1：求函数在内的值域.

分析:显然在可导，且.由得的极值点为.

..  

所以, 函数的值域为.

（15）“平方开方法”

求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.

1.适合函数特征

设（）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：

（1）的值总是非负，即对于任意的，恒成立；

（2）具有两个函数加和的形式，即（）；

（3）的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即

（，为常数），

其中，新函数（）的值域比较容易求得.

2.运算步骤

若函数（）具备了上述的三个特征，则可以将先平方、再开方，从而得到（，为常数）.然后，利用的值域便可轻易地求出的值域.例如，则显然.

3.应用四例

能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧.

例1  求函数（，）的值域.

解：首先，当时，；

其次，是函数与的和；

最后，

可见，函数满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.对根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得的值域为.于是，的值域为.

例2  求函数（，，）的值域.

解：显然，该题就是例1的推广，且此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.对根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得的值域仍为.于是，的值域也仍为.

例3  求函数（）的值域.

解：参照例1的验证步骤，显然，此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.易知，的值域为.于是，的值域为.

例4  求函数（）的值域.

解：参照例1的验证步骤，显然，此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.易知，的值域为.于是，的值域为.

例5  求函数 的值域

解：（平方法）函数定义域为：

平方法）函数定义域为：

（16）一一映射法

原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

例1. 求函数的值域。

解：∵定义域为

由得

故或

解得

故函数的值域为

（17）其他方法

其实，求解函数值域的方法，只不过是从解题过程中，对关键环节或典型步骤的一种称呼。实际上，其解法也远非上面总结的16种方法，还有倒数法等。此外我们还要明白：多种方法的配合使用，以及一题采用多种方法，在不断积累过程中，体会不同方法的长短，和练就根据实际问题选择较为简捷方法的能力。

例1. 求函数的值域。

解：令，则

（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：

注：先换元，后用不等式法

例2. 求函数的值域。

解：

令，则

∴当时，

当时，

此时都存在，故函数的值域为

注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。

例3.求函数  的值域

解：（图象法）如图，值域为

例4.求函数 的值域

解（复合函数法）：令，则

由指数函数的单调性知，原函数的值域为

例5.求函数的值域

解（三角代换法）：          设

小结：

（1）若题目中含有，则可设

（2）若题目中含有

则可设，其中

（3）若题目中含有，则可设，其中

（4）若题目中含有，则可设，其中

（5）若题目中含有，则可设。

其中

例6、求函数 的值域

解法一：（逆求法）

解法二：（复合函数法）设 ，

则

解法三：（判别式法）原函数可化为 

1）   时不成立

2）   时，

综合1）、2）值域

解法四：（三角代换法）设，则

原函数的值域为

小结：

已知分式函数 ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数的单调性去解。

注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

五、与函数值域有关的综合题

例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？

如果要求λ∈［］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？

解  设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx2=4840,设纸张面积为S cm2,

则S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,

将x=代入上式得  S=5000+44 (8+),

当8=,即λ=<1)时S取得最小值  

此时高  x==88 cm,　宽  λx=×88=55 cm  [来源:学科网][来源:Zxxk.Com]

如果λ∈［］，可设≤λ1<λ2≤,

则由S的表达式得  [来源:学,科,网Z,X,X,K]

又≥,故8－>0,

∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在区间［］内单调递增  

从而对于λ∈［］,当λ=时，S(λ)取得最小值 

答  画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小  如果要求λ∈［］,当λ=时，所用纸张面积最小 

例2已知函数f(x)=,x∈［1,+∞

(1)当a=时，求函数f(x)的最小值 

(2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围 

解 (1)  当a=时，f(x)=x++2[来源:学科网]

∵f(x)在区间［1，+∞上为增函数，

∴f(x)在区间［1，+∞上的最小值为f(1)= 

(2)解法一  在区间［1，+∞上，

f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立 

设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞[来源:学科网ZXXK]

∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1递增，[来源:学,科,网]

∴当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，

故a>－3  

解法二  f(x)=x++2,x∈［1,+∞

当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；

当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,

当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3  [来源:Z#xx#k.Com]

例3设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+) 

(1)证明  当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M 

(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值 

(3)求证  对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1 

(1)证明  先将f(x)变形  f(x)=log3［(x－2m)2+m+］,

当m∈M时，m>1,∴(x－m)2+m+>0恒成立，

故f(x)的定义域为R 

反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+>0,令Δ＜0,即16m2－4(4m2+m+)＜0,解得m>1,故m∈M 

(2)解  设u=x2－4mx+4m2+m+,

∵y=log3u是增函数，∴当u最小时，f(x)最小  

而u=(x－2m)2+m+,

显然，当x=m时，u取最小值为m+,

此时f(2m)=log3(m+)为最小值 

(3)证明  当m∈M时，m+=(m－1)+ +1≥3,

当且仅当m=2时等号成立 

∴log3(m+)≥log33=1