Question

求函数f(x)=2sinx-x在[-π/2,π/2]上的最大值与最小值

Answer 1

解：f'(x)=2cosx-1,f'(x)=0在[-π/2,π/2]上有两解x=π/3和x=-π/3
在(-π/2,-π/3),上f'(x)<0;在(-π/3,π/3)上,f'(x)>0;在(π/3,π/2)上,f'(x)<0,所f(x)在x=π/3处取得极小值，在x=-π/3处取得极大值。

f(-π/2)=-2+π/2,f(-π/3)=-√3+π/3,f(π/3)=√3-π/3,f(π/2)=2-π/2
所以函数f(x)=2sinx-x在[-π/2,π/2]上的最大值为f(π/3)=√3-π/3，最小值为f(-π/3)=-√3+π/3

Answer 2

f'(x)=2cosx-1
令f'(x)=0,得x=π/3,和x=-π/3
f(-π/2)=-2+π/2
f(π/2)=2-π/2
f(-π/3)=-(根号3)+π/3
f(π/3)=根号3-π/3
以上四值中最大者为最大值，最小者为最小值。

Answer 3

解答：
f'(x)=2cosx-1>0
则 cosx>1/2
∴ -π/3<x<π/3
∴ f(x)在（-π/3，π/3）上是增函数，
在（-π/2，-π/3）上是减函数，
在（π/3，π/2）上是减函数
∴ 最大值为f(-π/2)和f(π/3)中的较大者
∵ f(-π/2)=-2+π/2<0，
f(π/3)=√3-π/3>0
∴ 最大值为 √3-π/3
最小值为f(π/2)和f(-π/3)中的较大者
∵ f(π/2)=2-π/2>0，
f(-π/3)=-√3+π/3<0
∴ 最大值为 -√3+π/3

Answer 4

解：f'(x)=2cosx-1=0 cosx=1/2 x∈[-π/2,π/2]
所以 x=π/3
由f(x)=2sinx-x是奇函数 ，所以当x=π/3 时取得最大值为√3-π/3
x=- π/3 时取得最小值为-√3+π/3