Question

在数列{an}中，a1=1/3，并且对任意n属于N*，n≥2都有an×an-1=an-1-an成立

令bn=1/an(n属于N*)
1：求数列{bn}的通项公式
2：求数列{an/n}的前n项和Tn

Answer 1

解析：
1、当n≥2时
an×a(n-1)=a(n-1)-an
1/an-1/a(n-1)=1
1/an=1/a(n-1)+1
∴数列{1/an}是以1/a1=3为首项，d=1为公差的等差数列
1/an=3+(n-1)=n+2
an=1/(n+2)
bn=1/an=n+2
2、令数列{an/n}为：Cn
则：Cn=1/n(n+2)=1/2[1/n-1/(n+2)]
C1=1/2(1-1/3)
C2=1/2(1/2-1/4)
C3=1/2(1/3-1/5)
C4=1/2(1/4-1/6)
........................
Cn=1/2[1/n-1/(n+2)]
Tn=1/2[1/-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6+1/5-1/7+1/6-1/8+1/7-1/9+....+1/n-1/(n+2)]
=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]
=3/4-(2n+3)/2(n+1)(n+2)

Answer 2

an×an-1=an-1-an

二边同除以ana(n-1)
1/an-1/a(n-1)=1
设bn=1/an
bn-b(n-1)=1,即{bn}是一个以1/a1=3为首项,公差是1的等差数列,即有
bn=3+(n-1)*1=n+2
故有an=1/(n+2)
an/n=1/n(n+2)=1/2[1/n-1/(n+2)]
Tn=2[1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+...+1/n-1/(n+2)]
=2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]
=3-2/(n+1)-2/(n+2)

Answer 3

(1)
an×an-1=an-1-an
两边除an×an-1得
1/an-1/a(n-1)=1
所以数列1/an是等差数列，公差是1
所以
1/an=1/a1+(n-1)d =1/1/3+(n-1)*1=3+n-1=n+2
所以bn=1/an=n+2

(2)

Answer 4

解：1,∵当n≧2时，ana(n-1)=a(n-1)-an∴1=a(n-1)/[ana(n-1)]-an/[ana(n-1)
=1/an-1/a(n-1)
∵bn=1/an∴b(n+1)-bn=1,∵b1=1/a1=3∴bn=3+(n-1)×1=n+2
∴bn=n+2
2,an=1/bn=1/(n+2)
∴an/n=1/[n(n+2]=1/2×[1/n-1/(n+2)]
∴Tn=1/2×{1/1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+……+1/(n-1)-1/(n+1)+1/n-1/(n+2)}
=1/2×{1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)}
=[n(3n+5)]/[4(n+1)(n+2)]