Question

当x→0时，α(x)=kx²与β(x)=√1+xarcsinx-√cosx是等价无穷小，则k=?

答案是3/4，我知道分子有理化的做法，但是直接等价无穷小，√1+xarcsinx-√cosx=(1+xarcsinx)^½-1=1/2*xarcsinx=1/2*x^2，k=1/2，这样错在哪里？

Answer 1

cosx=1-x^2/2，sqrt(cosx)等于1-x^2/4
sqrt(1+x^2)=1+x^2/2
合并二者
=1+x^2/2-(1-x^2/4)=x^2*3/4