Question

高中数学轨迹方程

已知点P是椭圆
4x^2＋5y^2=20上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（4,0）.当点P在椭圆上运动时，求线段PA的中点M的轨迹方程。

Answer 1

我们知道这还是一个椭圆

画了一个图

连接MO，那么OM是三角形PF1F2的中位线

于是OM+MF2=PF1/2+PF2/2=(PF1+PF2)/2=(2a)/2=a=根号5

就是动点M到两定点O（0,0）F2（1,0）距离是常数

2c=OF2=1,于是c=1/2,

b²=a²-c²=5-1/4=19/4

于是就是椭圆，

是(x-1/2)²/5+y²/(19/4)=1

Answer 2

设：M(x,y)，因为A(4,0)，M为AP中点
则由中点公式可得：P(2x-4,2y)
点P在椭圆4x^2＋5y^2=20上
代入得：4(2x-4)²+5(2y)²=20
4(x-2)²+5y²=5
这就是点M的轨迹方程了。

ps：这也是一个椭圆，只不过中心不在原点，中学阶段不讲~~

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

追问

我想问怎样判断双曲线是左支，还是右支？ 有什么公式可以知道

追答

这不是双曲线，哪来左右支之说？
如果是双曲线的话，以横向的为例：
F1为左焦点，F2为右焦点，若：PF1-PF2=2a，则点P在右支；
若：PF2-PF1=2a，则点P在左支。

Answer 3

设点P的坐标为（x1，y1），点M的坐标为（x0，y0），点P 在椭圆上，所以满足4x1²+5y1²=20，则点M的坐标与点P的坐标存在对应关系为：
x0=（x1+4）/2，用x1表示x0为：x1=2x0-4
y0=（y1+0）/2，用y1表示y0为：y1=2y0
将两个表达式代回4x1²+5y1²=20，得16（x0-2）²+20y0²=20，继续化简得：4（x0-2）²+5y0²=5，即为中点M的轨迹方程。

Answer 4

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