Question

a∈R,函数f(x)=(-x^2+ax)e^（-x）.(x∈R,e为自然对数的底数)(Ⅰ)当a=-2时,求函数f（x）的单调减区间

（Ⅱ）f（x）在（-1，1）内单调递减，求a的取值范围（Ⅲ）函数f（x）是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围，若不是请说明理由。
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Answer 1

对函数f(x)求导：f‘(x)=-(-x²+ax)*e^(-x)+(-2x+a)*e^(-x)=(x²-ax-2x+a)*e^(-x)；
（1）将a=-2代入f‘(x)观察导数取值情况，f‘(x)=(x²-2)*e^(-x)；
当x²>2时，即x≧√2或x≦-√2时，f‘(x)>0，导数大于0，函数单调增加；
当x²<2时，即-√2<x<√2时，f‘(x)<0，导数小于0，函数向原点方向递减；
（2）若f(x)在(-1,1)内单调递减，即当-1<x<1时，f‘(x)<0；
由f‘(x)表达式 (x²-ax-2x+a)*e^(-x)<0，从而 x²-(a+2)x+a<0；
上列一元二次方程两根必须包含区间(-1,1)，即-1、1是方程的两根；
由1²-(a+2)*1+a<0，此式恒成立；
由 (-1)²-(a+2)*(-1)+a<0，a<-3；
（3）根据导数f‘(x)=(x²-ax-2x+a)*e^(-x)，其正负取决于二次式(x²-ax-2x+a)，该二次式值（首项为正）不可能永为负，也就是说原函数不可能是整个实数域上的单调递减函数；
若要成为单调递增函数，是能二次式必须满足一定条件；
x²-ax-2x+a≧0，要求：(a+2)²-4a≦0，只有a=2；