Question

求助一道高中数学题！急

函数f(x)=cos²＋√3cosxsinx-1/2。若x∈[0,π/2],求f(x)的最大值及取最大值时x的值。已知cos(β-α)=4/5.cos(β＋α)=-3/5.0＜α＜β≤π/2,求f(β-π/12)的值。

Answer 1

f(x)=(cos2x+1)/2+根号3/2sin2x-1/2

=1/2cos2x+根中搭稿号3/2sin2x
=sin(2x+Pai/6)
x属于[0，Pai/2],那么有2x+Pai/6属于[Pai/6,7Pai/6]
故当2x+Pai/6=Pai/2时，即X=Pai/6时，有最大值是1
f(b-Pai/12)=sin(2b-Pai/卖孝6+Pai/6)=sin2b=sin[(b-a)+(b+a)]
=sin(b-a)cos(b+a)+cos(b-a)sin(b+a)
=3/5*(-3/5)+4/枝兄5*4/5
=7/25

Answer 2

f(x)=1/2(2cos²x-1+2√3cosxsinx)=1/2(cos2x+√3sin2x)=sin(2x+π/6)
f'(x)=2cos(2x+π/6)=0,x=π/6,f(0)=1/2,f(π/6)=1,f(π/2)=-1/2,最大值为1，x取π/6
[或f'(x)>0,-π/2+2kπ≤2x+π/6≤π/2+2kπ,-π/3+kπ≤x≤棚贺π/6+kπ,
即为单调递增区间，即f(0)<f(π/6)
f'(x)<0,单调敬绝递减区间为f'(x)<0,π/6+kπ≤x≤2π/3+kπ,f(π/6)>链稿派f(π/2)
最大值为f(π/6)=1]

f(β-π/12)=sin(2β-π/6+π/6)=sin2β
cos(β-α)=4/5,sin(β-α)=3/5(0<α<β≤π/2),cos(β+α)=-3/5,sin(β+α)=4/5(0<α<β≤π/2,即0<β+α≤π)
cos(β+α)+cos(β-α)=2cosβcosα=1/5,
sin(β+α)+sin(β-α)=2sinβcosα=7/5,
tanβ=7
f(β-π/12)=sin2β=2tanβ/1+tan²β=2×7/1+7²=7/25

Answer 3

解:（1）f(x)=1/2cos(2x)+根3/2 sin2x
=sin(派/6+2x)
当x在零到派/2时
f(x)=sinx属于单调递增函数
且x=派/2时得其最大值f(派/2)=1
考虑到f(x)是周期宏神函数，可能会出现在定义域内有多弯绝清个x都达到最大值
故条件设为原式中埋前2x+派/6=2n派+(派/2)时f(x)有最大值　（n为自然数）
也就是x=n派+派/6时　f(x)有最大值
显然，在其定义域内,只有n=0时符合条件
即x=派/6时f(x)最大,且f(x)max=f(派/6)＝1
（2）求f(b-(派/12))还是求f(b-派)/12)

Answer 4