Question

求一道高中数学立体几何题的解法，急~~~~~~明天考试~~~求大神速度解决

如图1，四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥AD,DC⊥BC,将△DCB沿BD折起,使AC⊥BC,如图2.点E在DC上,AE且AE⊥DC,若二面角A-BD-C的正弦值为√6 / 3，求三棱锥D-ABE的体积

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Answer 1

取BD中点F，连结AF、EF
∵ BC⊥DC，且BC⊥AC
∴ BC⊥面ACD
∴ BC⊥AE
∵ AE⊥DC
∴ AE⊥面BCD
∵ AB=AD
∴ AF⊥BD
已证 AE⊥面BCD
∴ EF⊥BD
∴∠AFE为二面角A-BD-C的平面角。
∴sin∠AFE=√6/3
【这题你没给一个棱长，算体积是不可能的，我设了个，你主要看方法吧】
设AB=AD=3√2，则：AF=3，AE=√6，EF=√3，BD=6
∵AE⊥面BCD（已证）
∴ VD-ABE
=VA-BDE
=(1/3)∙AE∙SΔBDE
=(1/3)∙√6∙(BD∙EF/2)
=(1/3)∙√6∙(6∙√3/2)
=(1/3)∙√6∙(6∙√3/2)
=3√2

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