Question

已知关于X的一元二次方程X²-（M²+3）X+1/2（M²+2）=0 求证无论M为何值时，都有2个跟

设X1 X2为方程两个跟，X1²+X2²-X1X2=17/2 求M

Answer 1

解：因为方程根的判别式Δ=（m²+3）²-2（m²+2）=（m²+3）²-2（m²+3）+2=（m²+3-1）²+1=（m²+2）²+1，因为无论m取何值，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根。
设方程的二根为x1,x2，韦达定理，x1+x2= m²+3，x1x2=1/2（m²+2）。由于x1²+x2²=（x1+x2)²-2x1x2,,所以x1²+x2²-x1x2=(x1+x2）²-3x1x2=(m²+3）²-3/2（m²+2）=17/2.。即m²+3=-2（1）。m²+3=7/2，（2）。（1）无解。解（2）得m²=1/2.， m=根2/2，或m=-根2/2.。

Answer 2

该二次方程根的判别式:(M²+3)²-4*1*(M²+2)/2=[(M²+2)+1]²-2(M²+2)=(M²+2)²+1>0;
所以方程总有两个实根；
若方程两根分另为X1、X2，则X1+X2=M²+3，X1*X2=(M²+2)/2；
X1²+X2²-X1X2=(X1+X2)²-3*X1X2=(M²+3)²-3(M²+2)/2=17/2；
整理上式：(M²+2)²+(M²+2)/2-15/2=0
解二次方程得：M²+2=(-1/2+11/2)/2=5/2；
M=±√2/2

Answer 3

X²-（M²+3）X+1/2（M²+2）=0
（M²+3）²-4*1/2（M²+2）
=M^4+6M^2+9-2M^2-4
=M^4+4M^2+5
=M^4+4M^2+4+1
=（M²+2）²+1>0
所以无论M为何值时，都有2个根。
X1+X2=M²+3
X1X2=(M²+2)/2
X1²+X2²-X1X2
=X1²+2x1x2+X2²-3X1X2
=(X1+X2)²-3X1X2
=(M²+3)²-3(M²+2)/2
=M^4+6M^2+9-3M^2/2-3
=M^4+9M^2/2+6=17/2
M^4+9M^2/2-5/2=0
(M^2-1/2)(M^2+5)=0
M^2=1/2
M1=√2/2
M2=-√2/2
M^2=-5
实数范围内无解
M3=√5i
M4=-√5i