Question

如何将假分式分解为多项式和真分式的和？

同济六版不定积分部分有的题是假分式形式，如何化成可以做的真分式+多项式呢？例如：(x^5+x^4-8)/(x^3-x)dx 有没有常用的方法什么的，我有的题可以化出来但有的不行。

Answer 1

一般用综合除法
但我喜欢用加零分解凑分母因式的方法，如本题：
x^5+x^4-8=x^5-x^3+x^4-x^2+x^3-x+x^2+x-8 .......按x^3-x凑，直到剩余项次数小于分母次数，
注意与原式要等
=x^2(x^3-x)+x(x^3-x)+(x^3-x)+x^2+x-8
=(x^3-x)(x^2+x+1)+x^2+x-8
于是(x^5+x^4-8)/(x^3-x)=x^2+x+1+(x^2+x-8)/(x^3-x)

Answer 2

用分式的除法去做啊，分子是被除数，分母是除数，求出商和余数。和小时候的数的除法一样的，自己琢磨一下，这里一下说不清楚。

Answer 3

你这个分子的最高次幂比分母的最高次幂要高，所以直接除就好了（列竖式吧，最原始的方法，但在很多时候也很管用),不要老想着因式分解。

Answer 4

x^2+x+1+(x^2+x-8)/(x^3-x)