Question

函数f(x)=alnx+x²/2-(1+a)x, (x>0),其中a为实数。 若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

f'(x)=a/x+x-(a+1)=[x²-(a+1)x+a]/x=(x-1)(x-a)/x
（1）a≦0时，f'(x)<0，得：0<x<1，即函数在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增；
则：f(1)为最小值，f(1)≥0
即：1/2-a-1≥0
得：a≦-1/2
所以，a≦-1/2
（2）0<a<1时，f'(x)<0，得：a<x<1，即函数在(0,a)，(1,+∞)上递增，在(a,1)上递减；
x趋向于0时，f(x)趋向于-∞，不可能是f(x)≥0恒成立
舍去；
（3）a=1时，f'(x)≥0恒成立，所以，f(x)在定义域上递增，同上，舍去；
（4）a>1时，f'(x)<0，得：1<x<a，即函数在(0,1)，(a,+∞)上递增，在(1,a)上递减；
x趋向于0时，f(x)趋向于-∞，不可能是f(x)≥0恒成立
舍去；
综上，实数a的取值范围是：a≦-1/2

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

追问

第（1）点看懂了，下面3点就有点模糊了。。我知道单调如何得出区间，但后面的就不知道了。。单调性和恒成立有什么关联吗？

追答

就以第二点为例吧，f(x)在(0,a)上递增懂的吧？
既然在(0,a)上递增，而x趋向于0时，f(x)是趋向于alnx的，
a>0，x趋向于0时，lnx是趋向于负无穷的（画出lnx的图像就知道了）
所以，也就是说f(x)在区间(0,a)上是不存在最小值的，那么f(x)≥0恒成立是不可能的，
下面两点也是一样的。

追问

我脑子比较笨，想的有点纠结。。。是不是当最小值无法确定的时候，恒成立也就无法确定了，所以不成立？

追答

差不多就是这个意思，f(x)≥0恒成立，要求f(x)的最小值大于等于0
而在（2）（3）（4）三种情况下，f(x)的最小值都是负无穷，即不存在最小值。

Answer 2

f'=a/x+x-(1+a)=(a+x^2-x-ax)/x=(x-1)(x-a)/x;
1)a<0 （0,1）↓（1，∞）↑
min=f(1)=-0.5-a>=0 a<=-0.5
2) 0<a<1
(0,a)↑(a,1)↓(1,∞)↑
min=f(1)=-0.5-a
得空集
3） a=1 增 不可能
4）a>1
(0,1)↑(1,a)↓(a,∞)↑
min=f(a)=alna-a-a^2/2>=0
即lna-1-a/2>=0 得空集
综上a<=-0.5

Answer 3

（1）对f(x)进行求导得到f(x)'=a/x+x-1-a,令f(x)'>=0,得到a/x+x>=1-a,x>0,所以x^2+(a-1)x+a>=0,当a>1时，单调增区间为（a,无穷大），减区间为（0,1）当0<a<1时，单调增区间为（1，无穷大），单调减区间（0，a），当a<=0时，单调增区间为[1,无穷大），没有减区间。
（2）若f(x)>=0由（1）可知，当a>1时，f(x)的最小值为f(1)=-1/2-a>=0,a<=-1/2(不符合)，当0<a<1时，f(x)的最小值为f(a)=alna+1/2a^2-(1+a)*a>=0,即lna-1/2a>1，不可能，所以不符合；当a<=0时，f(x)的最小值为f(1)=-1/2-a>=0,a<=-1/2.综上所述，a的范围为a<=-1/2