Question

高数简单函数极限题

为什么不能展开至2次方得出答案2呢
解析里的6次方的项为什么没有了

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Answer 1

如图所示

Answer 2

展开到二次方，是利用了1-cosx~x^2/2的无穷小代换，但此代换条件是被代换的部分完全处于乘积的式子中。
比如这题，如果分子上没有后面的-2x^2，那么无论你是无穷小代换还是泰勒展开，答案肯定都一样的。
由于分母是4阶无穷小，为了确保得到精确答案，必须泰勒多展开几项，使分子的阶数大于等于分母阶数。
6次方没有了是因为分子的6次方除以分母的4次方之后再取极限是0，同理8次方、10次方......这也正是要求泰勒展开到合适阶数的原因。展开少了不能确保精度，展开多了写了全是0，无意义了。
希望能帮到您！

追问

但是课上讲的用泰勒展开式化简原则是1、上下同阶 2、幂次最低
展开到6次方不就不是同阶了

Answer 3

①。因为分母是x^4，所以作等价替换时， cos2x要取前三项，即cos2x≈1-2x²+(2x^4)/3；
不然精度不够。②。6次方项保留或不保留，结果一样，为省事，把它抛弃了。

追问

但是课上讲的用泰勒展开式化简原则是1、上下同阶 2、幂次最低
展开到6次方不就不是同阶了

追答

用来作替换的等价无穷小，可以取泰勒展开式的

前一项或两项或三项，宁多勿少。取多了，给运

算带来麻烦，但可保证精度。如：

Answer 4

展开到n阶，就忽略了比n阶高的无穷小，在很多时候，这些高阶无穷小也是不能忽略的，只有一个高阶无穷小和一个低阶无穷小的和式，你才可以忽略高阶的
你的题目中，很显然如果忽略高于二阶的，结果是一个四阶的无穷小，而你省略的也是四阶的，这种情况当然不能忽略。感觉你有点教条的听老师的，而没有理解老师为什么那么说

Answer 5