Question

求函数y＝x²＋2/√(x²＋1)，希望能说明过程

求最小值

Answer 1

方法①
求最小值，应该要用那些基本不等式
根据分析，那个y＝x²＋2/√(x²＋1)，中的2有可疑，经过这次你以后也会认为他有可疑
于是我把
y＝x²＋2/√(x²＋1)
=x²+1/√(x²＋1)+1/√(x²＋1)
=(x²+1)+1/√(x²＋1)+1/√(x²＋1)-1
看到了
就用3个数的基本不等式，a+b+c≥3【abc】^(1/3）
于是套一下公式
就是
y=(x²+1)+1/√(x²＋1)+1/√(x²＋1)-1
≥3【(x²+1)/√(x²＋1)√(x²＋1)】^(1/3)-1
=3-1=2
等号是在
(x²+1)=1/√(x²＋1)=1/√(x²＋1)取得
就是x=0时取得，
方法②
对于y＝x²＋2/√(x²＋1)我们令x²+1=t²,那么t≥1
于是y=t²-1+2/t
讨论单调性，就是求导
y'=2t-2/t²=2t(1-1/t³）对于t≥1时
y'显然恒大于0，就是
y=t²-1+2/t是增函数，于是最小值在t最小的时候，就是t=1
于是最小值
ymin=1²-1+2/1=2