Question

求高数高手帮忙啊！！！

如题，小弟感激不尽！！！

Answer 1

1. 将f(x0)在x处展开，用泰勒公式展开得到f(x0)=f(x)+f'(x)(x0-x)+0.5f''(x)(m-x0)^2（m为存在于x0和x中间的一个数）(拉格朗日余型)

2. 移项    f'(x)(x0-x)=f(x0)-f(x)+0.5f''(x)(m-x0)^2

3. 绝对值不等式     f'(x)|(x0-x)|=|f(x0)-f(x)+0.5f''(x)(m-x0)^2|<=|f(x0)|+|f(x)|+0.5|f''(x)(m-x0)^2|<=2a+0.5b|(m-x0)^2|<=2√ab|(m-x0)|(平均值不等式)

4. 上面有|(x0-x)|>=|m-x0|所以2√ab|(m-x0)|<=2√ab|(x-x0)|可以得到原式结论

 

此题为泰勒级数的基本题呵呵

Answer 2

任给 0<x<y, 令y-x = t
f(y)=f(x)+f'(x)t+ 1/2 f''(s) t^2 , 其中 s是 x,y之间的某点。
于是
|f'(x)|= |(f(y)-f(x))/t - 1/2f''(s) t |
<=2a/t + 1/2 bt
注意上式对任何 t>0成立。
取 t= 2根（a/b), 得：
|f'(x)|<=2a/( 2根（a/b) )+1/2 b* 2根（a/b)= 2根（ab)

Answer 3

f(0)=f(x)+f'(x)(0-x)+f''(d)/2(0-x)^2,
f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+f"'(e)/2(1-x)^2,两个式子相减，取绝对值得|f'(x)|=|f(1)-f(0)-f"'(e)/2(1-x)^2+f''(d)/2(0-x)^2|小于等于|f(1)-f(0)|+|f"'(e)/2(1-x)^2+f''(d)/2(0-x)^2|小于等于2a+b/2(x^2+(1-x)^2)小于等于2a+b/2（二次函数x^2+(1-x)^2在【0，1】上的最大值为1）
2a+b/2小于等于2根号ab
命题得证

追问

2a+b/2不是应该大于等于2根号ab么……