Question

直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A,B两点直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A,B两点,O为坐标原点

若OA乘OB=0，求a的值

若A，B在双曲线的两支上，求a的取值范围

Answer 1

解：将y=ax+1代入方程3x²-y²=1，得
3x²-(ax+1)²=1，整理，
(a²-3)x²+2ax+2=0
设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1+x2=-2a/(a²-3)，x1x2=2/(a²-3)
所以，y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a²·x1x2+a(x1+x2)+1=1
因为 OA*OB=0
所以，OA⊥OB，故OA与OB的斜率的乘积为-1.
∴x1x2=-y1y2
即2/(a²-3)=-1，解得
a=±1.

2.
判别式△= 4a^2 + 8(3-a^2) > 0 得：a^2 < 6
在两支上则 x1x2=-2/(3-a^2)<0 ,即a^2<3,
所以当-√3<a<√3时A,B分别在双曲线两支.