Question

如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,DE⊥AC,E是垂足,F是DE的中点，求证：AF⊥BE（用向量的方法解决）

Answer 1

因为AB=AC,D是BC边的中点, 所以 AD⊥BC
F是DE的中点 ==》 2AF=AD + AE

2AF*BE=(AD+AE)*(BD+DE)=AD*BD+AD*DE+AE*BD+AE*DE
=0 + (AE+ED)*DE+0+AE*(DE+EC)+0
=ED*DE+AE*EC
=-|ED|^2+|AE|*|EC|
=0 // 因为 DE 是直角三角形DCA斜边CE上的高。

所以 AF⊥BE

Answer 2

假设AD和BE相交点O，AF和BE相交点M
由等腰三角形，D是BC中点，AD⊥BC
再由DE⊥AC
三角形ADC相似三角形DEC
AD:DE=DC:EC
故AD*EC=DE*DC
因为F为DE中点，D为BC中点
AD*EC=DE*DC=2DF*(1/2BC)=DF*BC
AD:DF=BC:EC
∠ADF=90-∠EDC=∠BCE
故三角形ADF相似三角形BCE
故∠CBE=∠DAF
∠AME=∠DAF+∠AOE=∠CBE+∠BOD=∠ADC=90
所以AF⊥BE