Question

已知函数f（x）=b（x+1）lnx-x+1，在点（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0

求h（x）=f（x）-xlnx的单调区间 当实数0＜a＜1时，讨论g（x）=f（x）-（a+x）lnx+1／2ax平方的极值点并判断是极大值点还是极小值点

Answer 1

f(1) = b(1+1)ln1 - 1 + 1 = 0, 切点A(1, 0)
f'(x) = blnx + b(x+1)/x - 1
f'(1) = 2b - 1
A处的切线方程为x-y-1=0, y = x - 1, 斜率为1 = 2b - 1, b = 1
f(x) = (x+1)lnx - x + 1
h(x) = f(x) - xlnx = (x+1)lnx - x + 1 - xlnx = lnx - x + 1
h'(x) = 1/x - 1 = (1 - x)/x
h(x)定义域为x > 0
0 < x < 1时, 1-x > 0, x > 0, h'(x) > 0, 增函数
x > 1时, 1-x < 0, x > 0, h'(x) < 0, 减函数

题不是很清楚，假定最后一项为(1/2)ax²
g(x) = f(x) -(a+x)lnx + ax²/2
= (x+1)lnx - x + 1 -(a+x)lnx + ax²/2
= (1-a)lnx + ax²/2 -x + 1
g'(x) = (1-a)/x + ax - 1 = (ax²- x + 1-a)/x = 0
ax²- x + 1-a = 0
∆ = (-1)² -4a(a-a) = (2a - 1)²
x = [1 ± √(2a - 1)²]/(2a)

(1) 0 < a < 1/2
2a - 1 < 0
x = [1 ± (1 - 2a)]/(2a)
x₁ = (1 + 1 -2a)/(2a) = (1-a)/a > 1 (1-a > 1/2, 0 < a < 1/2)
x₂ = [1 - (1 - 2a)]/(2a) = 1
i(x) = ax²- x + 1-a为开口向上，且与x轴交于(1, 0), ((1-a)/a, 0)的抛物线
x < 1或x > (1-a)/a时, g'(x) > 0, 增函数
1 < x < (1-a)/a时, g'(x) < 0, 减函数
g(1)为极大值点, g((1-a)/a)为极小值点

(2) a = 1/2
∆ = 0
x₁ = x₂ = 1/(2a) = 1

i(x) = ax²- x + 1-a为开口向上，且与x轴切于(1, 0)的抛物线, 左右两侧g'(x)均> 0, 无极值点

(3) 1/2 < a < 1
2a - 1 > 0
x = [1 ± (2a - 1)]/(2a)
x₁ = (1 + 2a - 1)/(2a) = 1 (1-a > 1/2, 0 < a < 1/2)
x₂ = [1 - (2a - 1)]/(2a) = (1-a)/a < 1 (0 < 1-a < 1/2, a > 1/2, 0 < x₂ < 1)
i(x) = ax²- x + 1-a为开口向上，且与x轴交于((1-a)/a, 0), (1, 0)的抛物线
x < (1-a)/a或x > 1时, g'(x) > 0, 增函数
(1-a)/a < x < 1时, g'(x) < 0, 减函数
g((1-a)/a)为极小值点, g(1)为极大值点

Answer 2

呵呵，这题还真有点复杂，只能告诉你，切点是（1,0），b=1/2,然后自己解吧