Question

大家怎么证这道证明题

Answer 1

因为f在[a,b]上连续，故在由x1和x2构成的区间 I (注意：x1可能>x2) 连续，当x属于I时，存在最大最小值M和m，使：m《f(x)《M
故：m《(k1f(x1)+k2f(x2))/(k1+k2)《M
由介值性定理：在I上，至少存在ξ，（ξ属于I，a<ξ<b),使：
f(ξ)=(k1f(x1)+k2f(x2))/(k1+k2)
即：k1f(x1)+k2f(x2)=(k1+k2)f(ξ)

追问

我这样证明可以吗？
对任意给定的正常数k1,k2,令t=k1/(k1+k2),则1-t=k2/(k1+k2)
且0f(x2), (小于的情况类似)
则F(x1)=(1-t)[f(x1)-f(x2)]>0.
F(x2)=t[f(x2)-f(x1)]<0.
于是由零点定理,存在ξ∈（x1,x2）
F(ξ)=f(ξ)-tf(x1)-(1-t)f(x2)=0
化简后可知ξ为所求证的ξ.
同样可以证明f(x1)<f(x2)的情况.
若f(x1)=f(x2),则令ξ=x2,就满足了.
综上,得证.

Answer 2

设m=min{f(x1),f(x2)} M=max{f(x1),f(x2)} 不妨设 f(x1)=m,f(x2)=M
{k1f(x1)+k2f(x2)}/[(k1+k2)]={k1/[(k1+k2)]}f(x1)+{k2/[(k1+k2)]}f(x2)
m ≤ {k1/[(k1+k2)]}f(x1)+{k2/[(k1+k2)]}f(x2)≤M
因为f(x)在[x1,x2]是连续函数，所以存在ξ∈(x1,x2),从而ξ∈（a,b)
使得f(ξ)={k1f(x1)+k2f(x2)}/[(k1+k2)],即
f(ξ)[(k1+k2)],={k1f(x1)+k2f(x2)}

追问

这样证明 可以吗？
对任意给定的正常数k1,k2,令t=k1/(k1+k2),则1-t=k2/(k1+k2)
且0f(x2), (小于的情况类似)
则F(x1)=(1-t)[f(x1)-f(x2)]>0.
F(x2)=t[f(x2)-f(x1)]<0.
于是由零点定理,存在ξ∈（x1,x2）
F(ξ)=f(ξ)-tf(x1)-(1-t)f(x2)=0
化简后可知ξ为所求证的ξ.
同样可以证明f(x1)<f(x2)的情况.
若f(x1)=f(x2),则令ξ=x2,就满足了.
综上,得证.

追答

回答的非常好，并且感觉您的数学素养很高。

Answer 3

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