Question

在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c，且，1+（tanA/tanB）=2c/b

（1）求角A
（2）若向量m=（0，-1），向量n=（cosB，2cos²（C/2），求lm+nl的最小值
急急急

Answer 1

由1+tanA/tanB=2c/b得,
tanB+tanA=2tanB*c/b,由正弦定理得c/b=sinC/sinB,故得
tanB+tanA=2tanB*sinC/sinB=2sinC/cosB
即tanB+tanA=2sinC/cosB
sinB*cosA+sinA*cosB=2sinC*cosA
sin(A+B)=2sinC*cosA,
sinC=sin(180-A-B)=sin(A+B)=2sinC*cosA,sinC=2sinC*cosA,
由sinC不等于零,故得cosA=1/2,A=30,
m+n=(cosB,-1+2(cosC/2)^2)=(cosB,-cosC),B+C=150,C=150-B,
|m+n|^2=(cosB)^2+(cosC)^2=(cosB)^2+(cos(150-B))^2
=2+cos2B+cos(300-2B)=2+cos2B+cos300cos2B+sin300sin2B
=2+cos2B+(1/2)cos2B-(√3/2)sin2B=2+(3cos2B-√3sin2B)/2
=2+√3sin(D-2B),其中tanD=3/(2√3),
当D-2B=0时,|m+n|^2取得最小值2,即|m+n|取得最小值√2,当D-2B=90时,|m+n|^2取得最大值2+√3,即|m+n|取得最大值√(2+√3).

Answer 2

（1）过C点作一条高，交AB线为D，设AD=x,DB=y,那么x+y=c,tanA=CD/x,tanB=CD/y,
所以1+（tanA/tanB）=2c/b 就是1+（y/x）=2c/b ,(x+y)/x=2c/b 所以x=b/2
cosA=AD/AC=x/b=1/2
A=60°
（2）过A点作一条高，交BC线为E，设BE=e,CE=f.e+f=a
m+n=(cosB,2cos²（C/2）-1)=(cosB,cos²（C/2)-sin²（C/2))=(cosB,cosC)
cosB=e/c,cosC=f/b=(a-e)/b
所以lm+nl=开根号 {（e/c）²+[（a-e)/b]²} 要使取值最小 使e/c=(a-e)/b时最小
e=ac/(b+c)
代入取得lm+nl=开根号 {2[a/(b+c)]²}