Question

证明,当0<x<π/2时,sinx+tanx>2x

Answer 1

设函数f（x）＝sinx＋tanx－2x，即证明f（x）>0即可
因为f′（x）＝cosx＋1/（cosx）^2－2
＝［（cosx）^3－2（cosx）^2＋cosx＋1－cosx］/（cosx）^2
＝［cosx（cosx－1）^2＋1－cosx］/（cosx）^2。
因为x是锐角，
所以0＜cosx＜1，
所以f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，π/2）上是增函数，
又f（0）＝sin0＋tan0－2×0＝0，
所以f（x）在（0，π/2）上恒为正数，
所以在（0，π/2）上，sinx＋tanx－2x＞0，
所以在（0，π/2）上，sinx＋tanx＞2x。

鄙人拙见。不知同学是否满意？ ^-^

Answer 2

引入函数f（x）＝sinx＋tanx－2x，则：
f′（x）
＝cosx＋1/（cosx）^2－2
＝［（cosx）^3－2（cosx）^2＋cosx＋1－cosx］/（cosx）^2
＝［cosx（cosx－1）^2＋1－cosx］/（cosx）^2。
∵x是锐角，∴0＜cosx＜1，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，π/2）上是增函数，
又f（0）＝sin0＋tan0－2×0＝0，∴f（x）在（0，π/2）上恒为正数，
∴在（0，π/2）上，sinx＋tanx－2x＞0，∴在（0，π/2）上，sinx＋tanx＞2x。