Question

函数f(x)=x^2-2tx+1(t∈R),定义域为x∈[0,1]∪[7,8],f(x)有反函数,t的取值

Answer 1

x∈[0,1]∪[7,8],f(x)有反函数

则f(x)在x∈[0,1]∪[7,8]上函数值不能有重复
即：[0,1]关于对称轴x=t的对称区间[2t-1,2t]与[7,8]无交集
所以：
（1）2t<7，得：t<7/2；
（2）2t-1>8，得：t>9/2；
综上，t的取值范围是：t<7/2或t>9/2；

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

追问

[0,1]有可能在对称轴右侧么？还有，[0,1]与[7,8]也可能同在对称轴左侧吧？那样怎样取值？谢谢

追答

[0,1]与[7,8]也可能同在对称轴左侧吧？有可能啊。

当这两个区间在对称轴同一侧时，是最简单的，因为这时候f(x)在[0,1]∪[7,8]这个区间上是单调的
单调函数肯定是有反函数的，所以，无需考虑
即：t≦0或t≧8时，f(x)在x∈[0,1]∪[7,8]是单调的，必然有反函数。

[0,1]有可能在对称轴右侧么？有可能啊，[0,1]与[7,8]都在对称轴右侧，此时是单调的，必然有反函数。

追问

不好意思，还有个问题，那个t也不能在[0,1]∪[7,8]取值吧？那样对称轴不就在x取值区间内了吗，同一y值也会对应两个x值了啊，也没有反函数了吧？

追答

对！确实被我忽略了。。。
所以，最后答案是：
t∈(-∞,0]U[1,7/2)U(9/2,7]U[8,+∞)

这题比较坑人~~