Question

如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF.(1)求证:AD平分∠BAC，（2）猜想AB+AC与AE之间的数量关系，并证

图有点不正规，但是条件足以说明问题。第二个问需证明

Answer 1

证明：
1、
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠BED＝∠CFD＝90
∵BD＝CD，BE＝CF
∴△BDE≌△CDF （HL）
∴DE＝DF
∵AD＝AD
∴△AED≌△AFD （HL）
∴∠EAD＝∠FAD
∴AD平分∠BAC
2、2AE＝AB+AC
证明：
∵△AED≌△AFD
∴AE＝AF
∵AE＝AB+BE，AF＝AC-CF
∴AE+AF＝AB+BE+AC-CF
∵BE＝CF
∴2AE＝AB+AC

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Answer 2

（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E=∠DFC=90°，
∴△BDE与△CDE均为直角三角形，
∵

BD＝CD
BE＝CF

∴△BDE≌△CDE，
∴DE=DF，即AD平分∠BAC；

（2）AB+AC=2AE．
证明：∵BE=CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵∠E=∠AFD=90°，
∴∠ADE=∠ADF，
在△AED与△AFD中，
∵

∠EAD＝∠CAD
AD＝AD
∠ADE＝∠ADF

，
∴△AED≌△AFD，
∴AE=AF，
∴AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE．

Answer 3

∵AD是∠BAC的角平分线
∴DE=DF
Rt△BDE中BD^2-ED^2=BE^2
Rt△CDF中CD^2-DF^2=CF^2
∵DE=DF,BD=CD
∴BE=CF

Answer 4

∵AD是∠BAC的角平分线
∴DE=DF
Rt△BDE中BD^2-ED^2=BE^2
Rt△CDF中CD^2-DF^2=CF^2
∵DE=DF,BD=CD
∴BE=CF