Question

已知动直线kx-y+1=0和圆x²+y²=1相交于A,B两点,求弦AB的中点的轨迹方程

Answer 1

解答：
直线恒过M (0,1),
且M在圆上，
不妨设M为A
设AB中点为N
则ON⊥AB,即ON⊥MN
设N（x,y） (y≠1)
向量ON=(x,y)
向量MN=(x,y-1)
∴ x*x+y(y-1)=0
即 x²+y²-y=0
即 x²+(y-1/2)²=1/4 (y≠1)

追问

为什么向量MN=(x,y-1)？

追答

M（0,1)
N（x,y)
∴ 向量MN=(x,y-1)

Answer 2

将y=kx+1代人x²+y²=1，得(k²+1)x²+2kx=0，由韦达定理得x1+x2=-2k/(k²+1)
将x=(y-1)/k代人x²+y²=1，得(k²+1)y²-2y+1-k²=0，同理得 y1+y2=2/(k²+1)
设AB的中点坐标为(x,y)，则x=(x1+x2)/2=-k/(k²+1)，y=（y1+y2)/2=1/(k²+1),∵k=0时不存在两个交点，∴y≠1
∴x²+y²==k²/(k²+1)²+1/(k²+1)²=1/(k²+1)=y。整理得所求轨迹为 x²+(y-1/2)²=1/4 (y≠1)。