Question

设函数f(x)在区间[0,1]上连续,且∫(0~1)f(x)dx=0

Answer 1

设I=∫(0，1)
[f(x)+f(1-x)]dx=∫(0，1)
f(x)dx+∫(0，1)
f(1-x)dx
对于∫(0，1)
f(x)dx
令x=(1-t)
t=1-x
积分上下限变为(1，0)
dx=-dt
所以∫(0，1)
f(x)dx
=∫(1，0)
f(1-t)(-dt)
=-∫(1，0)
f(1-t)dt
=∫(0，1)
f(1-t)dt
积分与字母变量无关
=∫(0，1)
f(1-x)dx
因为∫(0，1)
f(x)dx=0
所以∫(0，1)
f(1-x)dx=0
故I=∫(0，1)
[f(x)+f(1-x)]dx
=∫(0，1)
f(x)dx+∫(0，1)
f(1-x)dx
=0+0=0
又因为积分中值定理
在(0，1)上存在一点ξ，使得
∫(0，1)
[f(x)+f(1-x)]dx=f(ξ)+f(1-ξ)=0
得f(1-ξ)=-f(ξ)

Answer 2

您确定原题是求∫
dx∫
f(0,1)dx∫(x,1)
f(x)f(y)dy吗？是不是∫
f(0,1)dx∫(x,1)
f(x)f(y)dy？
如果是前者，答案是x/2+c。如果是后者，答案是1/2。
解：∫
f(0,1)dx∫(x,1)
f(x)f(y)dy=∫
f(0,1)dy∫(y,1)
f(x)f(y)dx=∫
f(0,1)dx∫(0,x)
f(x)f(y)dy。（由于f(x)连续，所以可以进行重积分易序）
∫
f(0,1)dx∫(x,1)
f(x)f(y)dy+∫
f(0,1)dx∫(0,x)
f(x)f(y)dy=∫
f(0,1)dx∫(0,1)
f(x)f(y)dy。
∫
f(0,1)dx∫(0,1)
f(x)f(y)dy=∫
f(0,1)f(x)dx=1。
所以∫
f(0,1)dx∫(x,1)
f(x)f(y)dy=1/2。