Question

x*（（1+x）／（1-x））^（1／2）的定积分（积分区间为0到1）

Answer 1

∫ x√[(1 + x)/(1 - x)] dx
= ∫ x * √(1 + x)/√(1 - x) * √(1 + x)/√(1 + x) dx
= ∫ x(1 + x)/√(1 - x²) dx
= ∫ x/√(1 - x²) dx + ∫ x²/√(1 - x²)
= (- 1/2)∫ d(1 - x²)/√(1 - x²) - ∫ [(1 - x²) - 1]/√(1 - x²) dx
= - √(1 - x²) - ∫ √(1 - x²) dx + arcsinx

∫(0→1) x√[(1 + x)/(1 - x)] dx
= [- √(1 - x²) + arcsinx] |(0→1) - ∫(0→1) √(1 - x²) dx，最后一个积分宜用几何方法
= (- 0 + 1 + π/2 - 0) - (1/4)π(1)²
= 1 + π/2 - π/4
= 1 +π/4
= (4 + π)/4

对于最后一个积分，y = √(1 - x²) ==> x² + y² = 1，圆心为(0，0)，半径为1的圆
而由0到1的区间正好是1/4个圆，所以面积A=(1/4)πr²