Question

如图,二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点A(3，0),B（-1，0)，C（0,3）。

①求此函数的解析式
②在线段AC上是否存在点P(不含A,C两点），使△ABP与△ABC相似?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
(急求！！！好的会追加分的，请详细些）

Answer 1

二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点C（0,3），所以3=a·0+b·0+c,所以c=3，二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点A(3，0),B（-1，0)，所以0=9a+3b+3,0=a-b+3联立得a=-1,b=2;所以y=-x²+2x+3.
假如存在则点P和B对应，B和C对应，A和A对应，由AB:AC=AP:AB,这里AB=4，AC=3根号2，解得AP=8倍根号2/3,AP<AC,所以P点存在。直线AC方程为x+y=3(用待定系数法求），点P在AC上，所以可设P（m,3-m)由AP=8倍根号2/3解得（m-3)^2+(3-m-0)^2=[8倍根号2/3]^2,化简得（m-3)^2=64/9,m=1/3或17/3(后者舍去，因为点P在AC上，所以P点横坐标小于3大于0）所以P（1/3,8/3)

Answer 2

①将A、B、C三点坐标代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组

9a+3b+c=0；a-b+c=0；c=3，解得a=-1,b=2,c=3，因此函数解析式为y=-x²+2x+3
②假设存在满足条件的点P，使得△ABP与△ABC相似，则由于∠BAP=∠BAC，∠PBA<∠ABC
因此∠PBA=∠ACB，直线BP的斜率k=tan∠PBA=tan∠ACB=tan(∠ACO+∠OCB)
=(tan∠ACO+tan∠OCB)/(1-tan∠ACOtan∠OCB)=(1+1/3)/(1-1/3)=2
因此直线BP为y=2x+2，而直线AC为y=-x+3
联立解得交点P坐标（1/3,8/3），因为0<1/3<3，所以P在线段AC上
故点P（1/3，8/3）即为符合条件的点使△ABP与△ABC相似。