Question

排列组合证明题

排列组合证明题：(C0n)2＋ (C1n)2＋…＋(Cnn)2＝（2n!）/n!
比较急的,里面是关于组合数的各项,应该能看懂吧!
左边是二项展开式各项的平方和

Answer 1

可以这样设想：设有2n个编号为1,2,3,..,2n的小球,从中任取n个,有Cn2n=(2n!)/n!n!,另一种取法是:把它分为两组,前面一组编号为1,2,3,...n-1,n；剩下的为第2组,则共有n组方式得到n个球;第1组取0个,则第2组n个,取法数为C0n*Cnn,同理,第1组取i个,第2组则取n-i个,取法数为Cin*C(n-i)n,其中i=0,1,2,...,n,又C(n-i)=nCin,知有Cin*C(n-i)=(Cin)^2,又以上两种方法得到的取法数目相等,知有（C0n)^2+(C1n)^2+.+(Cnn)^2=(2n!)/n!n!