Question

对于一道高中数学题,如果不会做,但能看懂答案解析,可是换一道类似的题还是不会做,怎么办

Answer 1

楼主这个问题其实比较典型,也不能算是个小问题,我下面仔细说说我的一些经验.字数较多,但愿楼主能有耐心把它看完吧.这样吧,我给楼主举个例子,楼主就明白了.
比如有一道题,证明1+1/2²+1/3²…+1/n²<2（n是正整数）,楼主看了不会做,就看答案,答案上面这样写：
1+1/2²+…+1/n²<1+1/(1×2)+1/(2×3)+…+1/[n(n-1)]
=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+1/3-…+1/(n-1)-1/n
=1+1-1/2+1/2-1/3+1/3-…+1/(n-1)-1/n
=2-1/n<2
然后楼主仔细看一遍,说看懂了.第一步就是把每个分母都变小了,这样值就变大了；第二步就是把每个1/m(m+1)这种形式的分数都拆开了；第三步就是让中间一大堆加加减减都抵消掉,剩下来2-1/n所以小于2,就证完了.每一步都弄懂了.
然后又遇到一道类似的题.证明：1+1/3²+1/5²+…+1/n²<3/2（n是奇数,n>0）,反正上面的弄懂了,就仿照上面的做吧：第一步,把分母变小
1+1/3²+1/5²+…+1/n²<1+1/(2×3)+1/(4×5)+…+1/(n-1)n
第二步,拆开1+1/2-1/3+1/4+…+1/(n-1)-1/n
第三步,中间一大堆抵消……不对!抵消不掉,这是怎么回事?之后就不会做了……
这个问题出在什么地方呢?楼主的“理解了”或者“懂了”是“停留在答案字面上的”.我认为一道题的答案有两个部分,一个是“有形的部分”,就是答案写在纸上的；另一个是“无形的部分”,就是答案的思路、意图、来源,怎么由题目想到这种解题方法.字面上的理解就是只理解第一个部分,答案写着步骤a-步骤b-步骤c（解完了）,然后你理解了这三个步骤是什么,步骤a到b、b到c的推导都看懂了.但是第二部分的理解就难了,要理解第二部分,必须弄清楚“为什么我们要采用a-b-c这个方法”“怎么想到的要采用a-b-c这个方法”“为什么不能用a'-b'-c'这另一种方法”好多好多的问题.往往要做到机械模仿,只需要理解第一部分,但是要做到一通百通,变一下还会做,类似的题全部都能做对,那必须理解第二部分.
下面我来说说上面最开始的那个答案的“无形部分”是什么.从几个问题入手.
①为什么要把分母变小?
答：这是证明不等式常用的方法,叫“放缩法”.
②为什么要按照这种规则把分母变小?
答：因为这样才能把一个分数拆成一正一负两项.
③为什么要把它拆成两项?
答：我们要证明的是一个求和形式,必须找到一种变形,把求和能式子化简.化简的最好方法就是中间项正负抵消.这时候你会发现,把分母变小的方法,不光要能把分数拆开,还要能让中间项抵消.再仔细观察,就会发现抵消的关键是让前一项的末尾和后一项的开头是同一个数（比如1/(2×3)和1/(3×4)都是3,这是连接处；要是1/(2×3)和1/(4×5)就不行,没有连接处）.
最后就可以总结出此类题目的“灵魂”：把分母变小,变小成乘积的形式,并且乘积前一项的末尾和后一项的开头是同一个数,然后拆开,抵消求和.总结出这个,才能说“无形”的部分也弄懂了.
知道这个以后,就可以做类似的题了.不能机械模仿,把1/3²还变成1/(2×3),而变成1/(1×3),后面1/5²变成1/(3×5)以此类推,这样让分母上两个数相差2,就对接上了.
1+1/3²+1/5²+…+1/n²<1+1/(1×3)+1/(3×5)+…+1/[(n-2)n]
=1+1/2 [1-1/3+1/3-1/5+…+1/(n-2)-1/n]
（注意分母相差2的时候,拆开还要再乘以1/2）
=1+1/2-1/(2n)=3/2-1/(2n)<3/2
这道题就证完了.
建议楼主做到两点①注意基础知识,有的看似题目上的问题,实际上是基础知识掌握不牢.要做到把答案彻底弄懂,往往背后要求你课本上的知识点之类的要很牢固,这样有知识敏感度,才能看出来答案那个无形的部分是什么.②平时看答案多思考,不要光问“答案第一步到第二步怎么得出”,还要问“答案是怎么想到用这个方法的,这个方法成功的关键是什么”.
当然最后,你的数学比较熟练了,你会发现前面那种“做不下去”的做法实际上是可以做下去的：
1+1/3²+1/5²+…+1/n²<1+1/(2×3)+1/(4×5)+…+1/(n-1)n
=1+1/2-1/3+1/4+…+1/(n-1)-1/n
=3/2+(1/4-1/3)+(1/5-1/4)+…-1/n
可以看出前面是3/2,后面一对一对组合(1/4-1/3)、(1/5-1/4)……得到的全都是负数,所以总的来说是3/2加了1个负数,比3/2小.当然,这明显是另一种思路了.