Question

6.y=ax与y=x^2所围图形的面积为s1,它们与x=1所围

6.y=ax与y=x^2所围图形的面积为s1,它们与x=1所围 图形的面积为s2 (1)求a，使s1+s2为最小，并求最小值 (2)求最小值对应的图形绕x轴旋转所得旋转体体积

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

y=ax与y=x^2所围图形的面积为s1,它们与x=1所围
图形的面积为s2
(1)求a，使s1+s2为最小，并求最小值
(2)求最小值对应的图形绕x轴旋转所得旋转体体积
答：
1.a=√(1/2)时，s1+s2为最小。
2.S[min]=1/3-√2/6=0.0976311。
3.V=π(2/15+7√2/60)=0.298325。
解：
1.求面积
抛物线交直线x=1于A，直线y=ax交抛物线于C、
交直线x=1于B，OE=a，CE=a^2，BD=a。
面积OCF=S[1]，面积ABC=S[2]。
S-OFCAD=∫ydx=∫x^2dx=(x^3)/3=1/3(S-ODAN)。
同理：面积S-OFCE=1/3(S-OECM)=a^3/3。
S[1]=(S-OCE)-(S-OFCE)=a^3/6。
S[2]=(S-OFCAD)-(S-OFCE)-(S-CBDE)。
S=S[1]+S[2]=a^3/6+[1/3-a^3/3-(1-a)(a^2+a)/2]
=(a^3)/3-a/2+1/3,
S'=a^2-1/2=0---->a=√(1/2)=0.70711
S[min]=1/3-√2/6=0.0976311。
图见附件
2.求体积
抛物线OCA-D绕x轴旋转所得旋转体的体积：
V-OCAD=∫π(y^2)dx=∫π(x^4)dx=π(x^5)/5。
同理：V-OFCE=πa(^5)/5=V[1]；V-ACED=π(1-a^5)/5=V[2]。
底面半径为CE=a^2的圆锥体体积：V[3]=πa^3/3。
梯形CBDE绕x轴旋转所得圆锥台体积：V[4]=π(1-a(^3))/3。
图形OCF-ABC绕x轴旋转所得旋转体的体积：
V=V[3]-V[1]+V[2]-V[4]=π(a^3/3-a^5/5+1/5-a^5/5-1/3+a^3/3)
=π(2/15+2a^3/3-2a^5/5)。
代入a=√(1/2)，得V=π(2/15+7√(2)/60)=0.298325