Question

求积分∫1/（x^3+x）dx

Answer 1

∵1/(x³+x)=1/[x(1+x²)]=1/x-x/(1+x²），∴原式=∫[1/x-x/(1+x²)]dx=ln丨x丨-(1/2)ln(1+x²）+C。供参考。

Answer 2

∵1/(x³+x)=1/[x(1+x²)]=1/x-x/(1+x²），∴原式=∫[1/x-x/(1+x²)]dx=ln丨x丨-(1/2)ln(1+x²）+C。
供参考。

追问

1/[x(1+x²)]是怎么化成1/x-x/(1+x²）？

追答

应用待定系数法求解。设1/[x(1+x²)]=a/x+(bx+c)/(1+x²)。把右边的通分，与左边的相等，∴1=a(1+x²)+x(bx+c)=(a+b)x²+cx+a①。
对①对任意x均成立，∴比较两端系数，可得a+b=0，c=0，a=1。∴1/[x(1+x²)]=1/x-x/(1+x²)。

Answer 3

计算过程如下：∫ 1/(x³ + x) dx = ∫ 1/[x(x² + 1)] dx = ∫ [(1 + x²) - x²]/[x(x² + 1)] dx = ∫ 1/x dx - ∫ x/(x² + 1) dx = ∫ 1/...

Answer 4

x dx =∫ [2^(2x)+2*2^x*3^x+3^(2x)]/2^x dx =∫ [2^x+2*3^x+(9/2)^x] dx =2^x/(ln2) + 2*3^x/(ln3) + (9/2)^...

Answer 5

凑微分=(1/2)∫1/(1+x²)d(1+x²)=(1/2)ln(1+x²)+C