求积分∫1/(x^3+x)dx
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∵1/(x³+x)=1/[x(1+x²)]=1/x-x/(1+x²),∴原式=∫[1/x-x/(1+x²)]dx=ln丨x丨-(1/2)ln(1+x²)+C。供参考。
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∵1/(x³+x)=1/[x(1+x²)]=1/x-x/(1+x²),∴原式=∫[1/x-x/(1+x²)]dx=ln丨x丨-(1/2)ln(1+x²)+C。
供参考。
供参考。
追问
1/[x(1+x²)]是怎么化成1/x-x/(1+x²)?
追答
应用待定系数法求解。设1/[x(1+x²)]=a/x+(bx+c)/(1+x²)。把右边的通分,与左边的相等,∴1=a(1+x²)+x(bx+c)=(a+b)x²+cx+a①。
对①对任意x均成立,∴比较两端系数,可得a+b=0,c=0,a=1。∴1/[x(1+x²)]=1/x-x/(1+x²)。
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计算过程如下:∫ 1/(x³ + x) dx = ∫ 1/[x(x² + 1)] dx = ∫ [(1 + x²) - x²]/[x(x² + 1)] dx = ∫ 1/x dx - ∫ x/(x² + 1) dx = ∫ 1/...
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x dx =∫ [2^(2x)+2*2^x*3^x+3^(2x)]/2^x dx =∫ [2^x+2*3^x+(9/2)^x] dx =2^x/(ln2) + 2*3^x/(ln3) + (9/2)^...
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凑微分=(1/2)∫1/(1+x²)d(1+x²)=(1/2)ln(1+x²)+C
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