Question

若函数f(x)=x^2-2x+2,当t≤x≤t+1时的最小值为g(t),求函数g(t)当t∈[﹣3,2]时的最值. 求过程

Answer 1

f（x）=（x-1）²+1 对称轴为x=1，开口向上
①当t≥1时，f（x）在[t，t+1]↑
∴当x=t时，f（x）有最小值
且最小值g（t）=t²-2t+2
∴当t∈[-3,2]时
t∈[1,2]
∴当t=2时，g（t）有最大值2
当t=1时，g（t）有最小值1
②当t≤1且t+1≥1时，即0≤t≤1时
当x=1时，f（x）有最小值
且最小值g（t）=1
g（t）为常值函数，没有最值
③当t+1≤1，即t≤0时，f（x）在[t，t+1]↓
∴当x=t+1时，f（x）有最小值
且最小值g（t）=t²+1，g（t）的对称轴为x-0
当t∈[-3,2]时
t∈[-3,0]
∵g（t）在[-3,0]↓
∴当t=-3时，g（t）有最大值10
当t=0时，g（t）有最小值1

Answer 2

解：f'(x)=2x-2=2(x-1)
x<=1时 f(x)是增函数
x>1时 f(x)是减函数 f(x)在x=1时取到最小值
f(1)=1

t<=0时 t+1<=1 f(x)在区间[t,t+1]上是减函数， 最小值 g(t)=（t+1）^2-2（t+1）+2=t^2+1

0<t<=1时 1<t+1<=2 f(x)在区间[t,t+1]取到最小值f(1)=1 所以 g(t)=1

t>1时 t+1>2 f(x)在区间[t,t+1]上是增函数， 最小值g(t)=t^2-2t+1

Answer 3

解：
f（x）=（x-1）²+1 对称轴为x=1，开口向上
1、当t≥1时，f（x）在[t，t+1]递增
∴当x=t时，f（x）有最小值
且最小值g（t）=t²-2t+2
∴当t∈[-3,2]时
t∈[1,2]
∴当t=2时，g（t）有最大值2
当t=1时，g（t）有最小值1
2、当t≤1且t+1≥1时，即0≤t≤1时
当x=1时，f（x）有最小值
且最小值g（t）=1
g（t）为常值函数，没有最值
3、当t+1≤1，即t≤0时，f（x）在[t，t+1]递减
∴当x=t+1时，f（x）有最小值
且最小值g（t）=t²+1，g（t）的对称轴为x-0
当t∈[-3,2]时
t∈[-3,0]
∵g（t）在[-3,0]递减
∴当t=-3时，g（t）有最大值10
当t=0时，g（t）有最小值1