Question

已知二次函数y=x²+ax+a-2 (1)证明:抛物线与x轴有两个交点（2）求抛物线与x轴两交点的距离

（3）a为何值时，这两个交点间的距离最短 （提示：（2）设抛物线与x轴两交点坐标为X1.X2，那么X1+X2=-a，X1×X2=a-2）

Answer 1

(1)令y=0，得方程x²+ax+a-2=0。∵Δ=a²-4(a-2)=a²-4a+8=(a-2)²+4>0。∴方程有两个不同的实根。即抛物线y=x²+ax+a-2与x轴有两个交点。

(2)设抛物线与x轴两交点坐标为X1>X2，则(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1•x2=a²-4(a-2)=(a-2)²+4
∴抛物线与x轴两交点的距离为 x1-x2=√[(a-2)²+4]

(3) ∵(a-2)²+4 当a=2时有最小值4。∴当a=2时，这两个交点间的距离最短为2。

追问

用配方法怎么做

追答

配方法在证明抛物线与x轴有无交点的情况下并不适用。
例如本题，你硬要配方的话，得y=x²+ax+a-2=x²+ax+a²/4-a²/4+a-2=(x+1/2a)²-(a²/4-a+2)，而要说明图像与x轴的交点个数问题，你要在y=0的情况下讨论x有几个解，
因此要当y=0时，解方程 (x+1/2a)²-(a²/4-a+2)=0，那么(x+1/2)²=(a²/4-a+2)。
然后你去判断(a²/4-a+2)的值究竟是正数、负数还是零？才能得出有2个、1个或无交点结论，而且还是要用Δ来判断。至此你感觉如何？
最后，希望你能记住这个知识结构：判断二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有几个交点，用判别式
Δ=b²-4ac的结果来判断，当Δ>0时，有2个交点，Δ=0时，有一个交点，Δ<0时，没有交点。
希望你有所收获。

Answer 2

解：（1）∵△=a2-4（a-2）=（a-2）2+4＞0，
∴不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．

(2)设抛物线与x轴两交点坐标为X1>X2，则(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1•x2=a²-4(a-2)=(a-2)²+4
∴抛物线与x轴两交点的距离为 x1-x2=√[(a-2)²+4]

(3) ∵(a-2)²+4 当a=2时有最小值4。∴当a=2时，这两个交点间的距离最短为2。

追问

用配方法怎么做

追答

哪一问？

追问

第一 能用配方法做么

追答

第一题如果朝配方法方面考虑那就错了！因为要证与X轴有2交点实际上就是证△>0，只有当△>0时！函数方程才有两根！再者其实在证△的过程中就已经运用了配方知识！