Question

数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+an=1，数列{bn}满足b1=4，bn+...

数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+an=1，数列{bn}满足b1=4，bn+1=3bn-2； （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）设数列{cn}满足cn=anlog3（b2n-1-1），其前n项和为Tn，求Tn．

Answer 1

解：（1）①当n=1时，a1+S1=1∴a1=12
②当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（1-an）-（1-an-1）=an-1-an，
∴an=12an-1
∴数列{an}是以a1=12为首项，公比为12的等比数列；
∴an=12•（12）n-1=（12）n
∵bn+1=3bn-2
∴bn+1-1=3（bn-1）
又∵b1-1=3∴{bn-1}是以3为首项，3为公比的等比数列
∴bn-1=3n、
∴bn=3n+1
（2）∵cn=（12）n•log332n-1=（2n-1）•（12）n
∴Sn=1×12+3×（12）2+5×（12）3+…+（2n-3）•（12）n-1+（2n-1）•（12）n
∴12Sn=1×（12）2+3×（12）3+5×（12）4+…+（2n-3）•（12）n+（2n-1）•（12）n+1
∴（1-12）Sn=1×12+2[（12）2+（12）3+…+（12）n-1+（12）n]-（2n-1）•（12）n+1
=32-4×（12）n+1-（2n-1）•（12）n+1
=32-（2n+3）（12）n+1
∴Sn=3-2n+32n