Question

将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3：4．再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥体积之比为?

为什么沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3：4时，两个扇形的弧长分别是
8πr7
，
6πr7
其他的都还明白，就这点不明白，请详细解释（公式，文字说明）

Answer 1

∵两扇型圆心角之比为3∶4
∴它们的圆心角分别为n1=3×360º／7和n2=4×360º／7
设圆的半径为r 由弧长公式L=nπr／180得
则L1=n1πr／180=﹙3×360º／7﹚·πr／180=6πr／7
L2=n2πr／180=﹙4×360º／7﹚·πr=8πr／7
∴

Answer 2

分析：a1/a2=3/4,两个扇形的弧长分别是L1,L2,则L1/L2=a1r/(a2r)=3/4,周长为L1+L2=2πr,所以
L1+(3/4)L1=2πr,有L1=8πr/7,L2=6πr/7

Answer 3

半径为R
扇形1弧长=2πR*3/(3+4)=6Rπ/7，
扇形2弧长=2πR*4/(3+4)=8Rπ/7。
圆锥1的底半径=(6Rπ/7)/2π=3R/7
圆锥2的底半径=(8Rπ/7)/2π=4R/7
圆锥1的高=√(R²-(3R/7)²)=√40R/7
圆锥2的高=√(R²-(4R/7)²)=√33R/7V
圆锥1/V圆锥2=(π(3R/7)²*(√40R/7)/3)/(π(4R/7)²*(√33R/7)/3)=((9*√40)/49*7)/((16*√33)/49*7)=9*√10/8*√33