一道数学题,求详解。

定义:T(a1,a2,……,a﹙2n﹚)=(a(n﹢1﹚,a1,a﹙n+2﹚,a2,……,a(n-1),a(2n),an)问:对哪些正整数n,上述操作是周期的?... 定义:
T(a1,a2,……,a﹙2n﹚)=(a(n﹢1﹚,a1,a﹙n+2﹚,a2,……,a(n-1),a(2n),an)
问:对哪些正整数n,上述操作是周期的?
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立即日剋
2012-12-06 · TA获得超过487个赞
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解:
令A=(a1,a2,…,a(2n))。考察T(a1,…,a(2n))中各个分量ai的位置。a1是T(A)的第二个分量,…,an是T(A)的第2n个分量,这等价于a(n加1)是T(A)的第2(n加1)(mod2n加1)个分量。
一般地,我们可以证明,A中的第i个分量是T(A)中的第2i(mod2n加1)个分量。①
⑴当i≦n时,①显然成立
⑵当i>n时,令i=n加k,那么,对于A与T(A)来说,可知a(n加k)是T(A)的第2k-1个分量,但
2i=(2n加1)加2k-1≡2k-1(mod2n加1)
所以,①式成立
考察A中的第i个分量ai它是T(A)中第2i个分量,是T²(A)中第2²i个分量,…,是T^r(A)中的第2^ri个分量。
要使2^ri≡i(mod2n加1),找一充分条件:2^r≡1(mod2n加1)。利用2^(Ψ(2n加1))≡1(mod2n加1),Ψ为欧拉函数,那么可知,A中第i个分量ai是T^r(A)中第2^ri≡i(mod2n加1)个分量,即回到原状态。因此,对一切正整数n,操作T都是周期性的。
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