Question

设a,b,c都是不等于1的正数，且a,b,c成等比数列，logcA,logbC.logaB成等差数列，求等差数列的公差D

设a,b,c都是不等于1的正数，且a,b,c成等比数列，logcA,logbC.logaB成等差数列，求等差数列的公差D

Answer 1

因为a、b、c成等比数列，故可设其公比为k，即b=ka,c=k^2*a
lna/lnc=lna/ln(k^2*a)=lna/(2lnk+lna)=1/(2lnk/lna+1)
lnc/lnb=ln(k^2*a)/ln(ka)=(2lnk+lna)/(lnk+lna)=(2lnk/lna+1)/(lnk/lna+1)
lnb/lna=ln(ka)/lna=(lnk+lna)/lna=lnk/lna+1
现在只剩1个未知数(即lnk/lna)，可以根据等差列方程了：
设x=lnk/lna
2lnc/lnb=lna/lnc+lnb/lna
即2(2x+1)/(x+1)=1/(2x+1)+x+1
化简得2x^3-3x^2-3x=0
解得
x1=0(即k为1，舍去)

x2=(3+√33)/4
此时
lna/lnc=1/(2x+1)=(√33-5)/4
lnc/lnb=(2x+1)/(x+1)=(1+√33)/4
lnb/lna=x+1=(7+√33)/4
公差为1.5=3/2

x3=(3-√33)/4
此时
lna/lnc=1/(2x+1)= -(5+√33)/4
lnc/lnb=(2x+1)/(x+1)=(1-√33)/4
lnb/lna=x+1=(7-√33)/4
公差为3/2

Answer 2

因为log ca +log ab =2log bc
所以log a^2bc=log b^2c^2
所以a^2bc=b^2c^2
所以a^2=bc
又因为ac=b^2
所以a^3=b^3即a=b
要求D=log bc-log ac=log b/a
所以a/b=1
所以D=0