Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=3,S15=225.

已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=3,S15=225.求数列{an/2^n}的前n项和Tn.

Answer 1

∵等差数列{an}的前n项和为Sn
∴S15=(a1+a15)*15/2
=(a2+a14)*15/2
=(3+a14)*15/2
=225
即a14=27
∴d=(a14-a2)/12=2，a1=a2-d=1
即an=a1+(n-1)d=2n-1
则an/2^n=(2n-1)/2^n
∴ Tn=1/2+3/2^2+5/2^3+……+(2n-1)/2^n ……①
1/2*Tn= 1/2^2+3/2^3+……+(2n-3)/2^n+(2n-1)/2^(n+1) ……②
①-②式得：1/2*Tn=1/2+2/2^2+2/2^3+……+2/2^n-(2n-1)/2^(n+1)
即Tn=1+1+1/2+1/4+……+1/2^(n-2)-(2n-1)/2^n
=1+1*[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)-(2n-1)/2^n
=1+2-1/2^(n-2)-(2n-1)/2^n
=3-1/2^(n-2)-(2n-1)/2^n
=3-(2n+3)/2^n

Answer 2

因为s15=(a2+a14)15/2=225
又因为a2=3
所以解得a14=27
所以a14-a2=12d=27-3=24
所以d=2
所以a1=1
所以an=1+（n-1）2=2n-1
tn=an/2^n=(2n-1)/2^n
Tn=1/2+3/2^2+5/2^3+...+(2n-1)/2^n
2Tn=1+3/2+5/2^2+....+(2n-1)/2^(n-1)
2Tn-Tn=1+2/2+2/2^2+...+2/2^(n-1)-(2n-1)/2^n
Tn=1+2*1/2*(1-1/2^(n-1))/(1-1/2)-(2n-1)/2^n
=1+2-2/1/2^(n-1)-(2n-1)/2^n
=3-(2n+3)/2^n

Answer 3

a2=a1+d=3
S15=15a1+15*14d/2=225
a1=1,d=2
an=a1+(n-1)d=2n-1
Tn=1/2+3/2^2+5/2^3+...+(2n-1)/2^n
1/2Tn=1/2^2+3/2^3+5/2^4+...+(2n-1)/2^(n+1)
Tn-1/2Tn=1/2+1/2+1/2^2+...+1/2^(n-1)-(2n-1)/2^(n+1)
Tn=1+(1+1/2+1/2^2+...+1/2^(n-2)-(2n-1)/2^n
=1+2-4/2^n-(2n-1)/2^n
=3-(2n+3)/2^n

Answer 4

解：设an=a1+（n-1）d，所以sn=na1+（n-1)nd/2，所以
a2=a1+d=3，s15=15a1+105d=225，解得a1=1，d=2，所以
an=2n-1，则
设bn=an/2^n=(2n-1)/2^n
所以Tn=1/2+3/4+5/8+……+(2n-1)/2^n，所以
Tn/2=1/4+3/8+5/16+……+(2n-1)/2^（n+1），所以
Tn-Tn/2=Tn/2=1/2+2/4+2/8+2/16+……+2/2^n+(2n-1)/2^（n+1）=3/2+(2n-5)/2^（n+1)