Question

证明x^3+x-1=0在（0，1）只有一个实根。再有，函数在闭区间连续的条件是什么？在这道题里怎么用

Answer 1

令f(x)=x^3+x-1
因为f(0)=-1<0,f(1)=1
所以在（0，1）之间必存在一个使f（x）=0的解.
所以原方程存在正实根.

下面证明该正实根的唯一性：（两种方法）

方法一：对f(x)求导，f'(x)=3x^2+1>0
可以知道f(x)为单调的增函数，所以知道有且仅有一个实根且位于（0，1）之间.

方法二：设该实根为X1 假设存在第二个正实根（或更多）设为X2
有X1^3+X1=X2^3+X2
化简得X1^2+X2^2+X1X2=0 因为X1>0,X2>0所以假设不成立。得证.

Answer 2

函数在闭区间连续
是指在期间（0，1）函数f（x）=x^3+x-1是连续中间不间断的

追问

答案呢？

追答

f（x）=x^3+x-1
求导=3x^2+1>=0单调增函数(也可以用定义)
f（0）=-1 f（1）=1
f（0）*f（1）<0
得证