Question

任意一个奇数阶的多项式必有实根,用实数的性质证明？

Answer 1

证明：设任意奇数阶多项式f(x)=a(2k+1)*x^(2k+1)+a(2k)*x^(2k)+...+a1*x1+a0*x0，其中a(2k+1)≠0，k是自然数
lim(x->+∞) f(x)/a(2k+1)=+∞
lim(x->-∞) f(x)/a(2k+1)=-∞
根据函数极限的定义，存在正数M
对所有x>M，有f(x)/a(2k+1)>0
对所有x<-M，有f(x)/a(2k+1)<0
设p>M，q<-M
则[f(p)/a(2k+1)]*[f(q)/a(2k+1)]<0
f(p)*f(q)/a(2k+1)^2<0
f(p)*f(q)<0
即f(p)与f(q)异号
因为多项式f(x)在R上连续，所以根据连续函数的零点定理
至少存在一个x0∈R，使得f(x0)=0，即方程f(x)=0必有实根
所以任意一个奇数阶的多项式必有实根