Question

实对称矩阵相似一定合同吗？

Answer 1

是的，实对称矩阵相似一定合同。

相似和合同从定义出发的话，没有任何关系，只是定义看起来比较相似而已，一个-1一个T。但是实对称阵在等价对角阵的变换过程中用到的那个变换矩阵P可以是一个正交矩阵，也就是逆矩阵和置换矩阵合并了，因此实对称阵与对角阵的相似与合同才合同。

实对称矩阵主要性质：

实对称矩阵：如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）(i,j为元素的脚标)，则称A为实对称矩阵。

1.实对称矩阵 A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2.实对称矩阵 A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3.n阶实对称矩阵 A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4.若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0 E- A)=n-k，其中 E为单位矩阵。

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示