Question

如图1,菱形abcd的边长为6、角abc=120度,动点p从点a出发沿线你ad至ac

Answer 1

（1） 若0＜t≤5,则AP＝4t,AQ＝23t. 则 APAQ＝4t23t＝233 ,
又 ∵ AO＝103,AB＝20,∴ ABAO＝20103＝233 .
∴ APAQ＝AB AO,……1分 又 ∠CAB＝30°,∴ △APQ∽△ABO…………2分
∴ ∠AQP＝90°,即PQ⊥AC. …………………………………………………3分
当5＜t≤10时,同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC＝90°,即PQ⊥AC……4分
∴ 在点P、Q运动过程中,始终有PQ⊥AC.
（2）① 如图,在RtAPM中,易知AM＝83t3,又AQ＝23t,
QM＝203－43t.………………………………………5分
由AQ＋QM＝AM 得23t＋203－43t＝83t3……6分
解得t＝307 ………………………………………………7分
∴ 当t＝307时,点P、M、N在一直线上.
② 存在这样的t,使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形.
设l交AC于H.
如图1,当点N在AD上时,若PN⊥MN,则∠NMH＝30°.
∴ MH＝2NH,得 203－43t－23t3＝2×83t3 解得t＝2, …………9分
如图2,当点N在CD上时,若PM⊥MN,则∠HMP＝30°.
∴ MH＝2PH,同理可得t＝ 203 .……………………………………………10分
故 当t＝2或 203 时,存在以PN为一直角边的直角三角形.………………